Question

15．設a，b∈R，函數f（x）=lnx-ax，$g（x）=\frac{b}{x}$．
（Ⅰ）若f（x）=lnx-ax與$g（x）=\frac{b}{x}$有公共點P（1，m），且在P點處切線相同，求該切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）有極值但無零點，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當a＞0，b=1時，求F（x）=f（x）-g（x）在區間[1，2]的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列關于a，b的方程組，求解方程組可得a，b的值，進一步求得g′（1），g（1），代入直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）求出函數f（x）的導函數，可知a≤0時，$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$恒成立，函數f（x）在定義域（0，+∞）單調遞增，此時無極值；當a＞0時，求出函數有極大值，由絕對值小于0求得實數a的取值范圍；
（Ⅲ）由已知可得F（x）解析式，求導后可得F′（x）=$\frac{{-（{a{x^2}-x-1}）}}{x^2}$．設h（x）=ax²-x-1，依據a分類討論求得函數在區間[1，2]的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=g'（1）\\ f（1）=g（1）\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-a=-b\\-a=b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
∴g′（1）=$\frac{1}{2}$，g（1）=$-\frac{1}{2}$，
在點$P（{1，-\frac{1}{2}}）$的切線方程為$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y-2=0；
（Ⅱ）當a≤0時，由$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$恒成立，可知函數f（x）在定義域（0，+∞）單調遞增，此時無極值；
當a＞0時，由$f'（x）=\frac{1}{x}-a=0$，得$x=\frac{1}{a}＞0$．
由$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$，得$x∈（{0，\frac{1}{a}}）$；$f'（x）=\frac{1}{x}-a＜0$，得$x∈（{\frac{1}{a}，+∞}）$．
于是，$x=\frac{1}{a}$為極大值點，且${f_{max}}（x）=f（{\frac{1}{a}}）$=-lna-1．
由于函數f（x）無零點，因此${f_{max}}（x）=f（{\frac{1}{a}}）$=-lna-1＜0，解得$a＞\frac{1}{e}$；
（Ⅲ）不妨設$F（x）=lnx-ax-\frac{1}{x}$，得$F'（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{1}{x^2}$=$\frac{{-（{a{x^2}-x-1}）}}{x^2}$．
設h（x）=ax²-x-1，
∵a＞0，∴△=1+4a＞0，
設h（x）=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由${x_1}•{x_2}=-\frac{1}{a}＜0$，得x₁＜0，x₂＞0，且${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1+4a}}}{2a}$．
∴$F'（x）=\frac{{-a（{x-{x_1}}）（{x-{x_2}}）}}{x^2}$．
由F'（x）=0，得x=x₂．
∴當F'（x）＞0時，x₂＞x＞0；當F'（x）＜0時，x＞x₂．
∴F（x）在（0，x₂]單調遞增，在[x₂，+∞）上單調遞減．
①當0＜x₂≤1，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2a}＜1\\ h（1）≥0\end{array}\right.$，即a≥2時，[1，2]⊆[x₂，+∞），F（x）在[1，2]遞減，
∴F（x）_min=F（2）=$ln2-\frac{1}{2}-2a$；
②當x₂≥2，即h（2）≤0，即$0＜a≤\frac{3}{4}$時，[1，2]⊆（0，x₂]，F（x）在[1，2]遞增，
∴F（x）_min=F（1）=-a-1；
③當1＜x₂＜2，即$\frac{3}{4}＜a＜2$時，F（x）在[1，x₂]遞增，[x₂，2]遞減，
∴F（2）-F（1）=$ln2-\frac{1}{2}-2a+a+1$=$ln2+\frac{1}{2}-a$．
（i）當$ln2+\frac{1}{2}≤a＜2$時，F（2）≤F（1），∴F（x）_min=F（2）=$ln2-\frac{1}{2}-2a$；
（ii）當$\frac{3}{4}＜a＜ln2+\frac{1}{2}$時，F（2）＞F（1），∴F（x）_min=F（1）=-a-1．
綜合①、②、③得，F（x）=f（x）-g（x）在區間[1，2]的最小值為：F（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}-a-1，（{0＜a＜ln2+\frac{1}{2}}）\\ ln2-\frac{1}{2}-2a，（{a≥ln2+\frac{1}{2}}）\end{array}\right.$．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，著重考查利用導數研究函數的單調性及利用導數求函數在閉區間上的最值，其中（Ⅲ）涉及二次函數的分類討論問題，關鍵是做到分類不重不漏，屬難題．