Question

8．有一塊半徑為R（R為正常數）的半圓形空地，開發商計劃征地建一個游泳池ABCD和其附屬設施，附屬設施占地形狀是等腰△CDE，其中O為圓心，A，B在圓的直徑上，C，D，E在半圓周上，如圖．
（1）設∠BOC=θ，征地面積為f（θ），求f（θ）的表達式，并寫出定義域；
（2）當θ滿足g（θ）=f（θ）+R²sinθ取得最大值時，開發效果最佳，求出開發效果最佳的角θ的值，并求出g（θ）的最大值．

Answer 1

分析 （1）連結OC，OE，用θ表示出BC，OB，代入梯形面積公式即可得出f（θ）；
（2）令sinθ+cosθ=t，使用換元法求出g（θ）的最值及對應的θ．

解答 解：（1）連結OE，OC，
在Rt△OBC中，BC=Rsinθ，OB=Rcosθ，
∴S_梯形OBCE=$\frac{1}{2}$（Rsinθ+R）Rcosθ=$\frac{1}{2}$R²（1+sinθ）cosθ，
∴f（θ）=2S_梯形OBCE=R²（1+sinθ）cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（2）g（θ）=R²（1+sinθ）cosθ+R²sinθ=R²（sinθ+cosθ+sinθcosθ），
令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），則t∈（1，$\sqrt{2}$]，sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴g（θ）=R²（$\frac{{t}^{2}-1}{2}+t$）=$\frac{{R}^{2}}{2}$[（t+1）²-2]，
令h（t）=$\frac{{R}^{2}}{2}$[（t+1）²-2]，則h（t）在（1，$\sqrt{2}$]上單調遞增，
∴當t=$\sqrt{2}$即θ=$\frac{π}{4}$時，h（t）取得最大值（$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$）R²，

點評 本題考查了函數模型的應用，函數最值的計算，屬于中檔題．