Question

14．已知函數f（x）=ma^x+a^2x-1，（a＞0且a≠1，m∈R）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，m=1時，試判定函數y=f（x）的單調性；
（2）當m=2時，函數y=f（x）在區間x∈[-1，1]上的最大值是14，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）代入a，m的值，根據指數函數的性質求出f（x）的單調性即可；
（2）求出f（x）的解析式，通過討論a的范圍，求出f（x）的單調性，求出f（x）的最大值，解出即可．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$，m=1時，
f（x）=2^-x+2^-2x-1，
而y=2^-x遞減，
則f（x）在R遞減；
（2）m=2時，f（x）=2a^x+a^2x-1，
若a＞1，則f（x）在[-1，1]遞增，
f（x）_max=f（1）=2a+a²-1=14，
解得：a=3；
若0＜a＜1，則f（x）在[-1，1]遞減，
f（x）max=f（-1）=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$-1=14，
解得：a=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．