Question

9．已知正三角形ABC的邊長為2，點D是邊BC上一動點，點D到AB、AC的距離分別為x、y，則xy的最大值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由ABC是的邊長為2的正三角形，每個角是60°，x、y分別是點D到AB、AC的距離，利用三角函數的定義可得BD和DC的距離．利用基本不等式即可求xy的最大值．

解答 解：由題意，ABC是的邊長為2的正三角形，每個角是60°，x、y分別是點D到AB、AC的距離，
∴BD=$\frac{x}{sin60°}$，DC=$\frac{y}{sin60°}$
可得：BD+DC=$\frac{y}{sin60°}$+$\frac{x}{sin60°}$=2，即x+y=$\sqrt{3}$．
∵$\sqrt{3}$=x+y$≥2\sqrt{xy}$，當且僅當x=y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時取等號．
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}≥\sqrt{xy}$．
∴xy的最大值為$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$

點評 本題考查了三角函數定義與基本不等式的性的運用，屬于基礎題．