Question

10．已知圓M：（x-2a）²+y²=4a²與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）交于A、B兩點，點D為圓M與x軸正半軸的交點，點E為雙曲線C的左頂點，若四邊形EADB為菱形，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求得圓心及半徑，由題意四邊形EADB的對角線AB，DE相互垂直平分，即可求得x_A，代入圓的方程求得y_A，代入雙曲線的方程，即可求得b²=3a²，根據雙曲線的離心率關系，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：圓M：（x-2a）²+y²=4a²，圓心為（2a，0），半徑為2a，則D（4a，0），
由雙曲線的左頂點E的坐標為（-a，0），
由四邊形EADB為菱形，則對角線AB，DE相互垂直平分，
則x_A=$\frac{-a+4a}{2}$=$\frac{3a}{2}$，將x_A=$\frac{3a}{2}$代入圓M，解得：y_A=$\frac{\sqrt{15}a}{2}$，
將A（$\frac{3a}{2}$，$\frac{\sqrt{15}a}{2}$）代入雙曲線方程，即$\frac{9}{4}$-$\frac{15{a}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
整理得：b²=3a²，
由雙曲線離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
∴雙曲線的離心率e=2，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，圓的標準方程，考查轉化思想，屬于中檔題．