Question

5．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}，x＞1\\ 9x{（1-x）^2}，x≤1\end{array}$，若函數g（x）=f（x）-k僅有一個零點，則k的取值范圍是（-∞，0）∪（$\frac{4}{3}$，2）．

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調性，計算f（x）的極值，作出f（x）的函數圖象，根據圖象即可判斷出k的范圍．

解答 解：當x＞1時，f（x）單調遞減，
當x≤1時，f′（x）=9（3x-1）（x-1），
∴當x$＜\frac{1}{3}$時，f′（x）＞0，當$\frac{1}{3}＜x＜1$時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）上單調遞增，在（$\frac{1}{3}$，1）上單調遞減，
∴當x=$\frac{1}{3}$時，f（x）取得極大值f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{3}$．
作出f（x）的函數圖象如圖所示：

∵函數g（x）=f（x）-k僅有一個零點，
∴k＜0或$\frac{4}{3}＜x＜2$．
故答案為：（-∞，0）∪（$\frac{4}{3}$，2）．

點評 本題考查了函數單調性判斷與極值計算，函數零點與函數圖象的關系，屬于中檔題．