Question

14．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₁的極坐標方程為ρ=2sinθ，正方形ABCD的頂點都在C₁上，且依次按逆時針方向排列，點A的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（1）求點C的直角坐標；
（2）若點P在曲線C₂：x²+y²=4上運動，求|PB|²+|PC|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出A的直角坐標，根據A，C關于y軸對稱，求出C的坐標即可；
（2）設P（x，y），x=2cosθ，y=2sinθ，求出|PB|²+|PC|²的解析式，根據三角函數的性質求出其范圍即可．

解答 解：（1）∵點A的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴點A的直角坐標是（1，1），
由A，C關于y軸對稱，則C（-1，1）；
（2）易得B（0，2），C（-1，1），
曲線C₁：ρ=2sinθ的直角坐標方程是：x²+（y-1）²=1，
設P（x，y），x=2cosθ，y=2sinθ，
則|PB|²+|PC|²
=x²+（y-2）²+（x+1）²+（y-1）²
=2x²+2y²-6y+2x+6
=14+2（x-3y）
=14+2（2cosθ-6sinθ）
=14+4（cosθ-3sinθ）
=14+4$\sqrt{10}$cos（θ+φ），
故|PB|²+|PC|²∈[14-4$\sqrt{10}$，14+4$\sqrt{10}$]．

點評 本題考查了極坐標以及直角坐標的轉化，考查三角函數的性質以及對稱思想，轉化思想，是一道中檔題．