Question

2．等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₂=4，S₄=16，數列{b_n}滿足b_n=a_n+a_n+1，則數列{b_n}的前9和T₉=180．

Answer 1

分析 設等差數列{a_n}的公差為d，由b_n=a_n+a_n+1，b_n+1=a_n+1+a_n+2，可得b_n+1-b_n=a_n+1+a_n+2-a_n-a_n+1=2d為常數，因此數列{b_n}也為等差數列．根據等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₂=4，S₄=16，即可得出．

解答 解：設等差數列{a_n}的公差為d，因為b_n=a_n+a_n+1，所以b_n+1=a_n+1+a_n+2，
兩式相減b_n+1-b_n=a_n+1+a_n+2-a_n-a_n+1=2d為常數，
所以數列{b_n}也為等差數列．
因為{a_n}為等差數列，且S₂=4，S₄=16，所以b₁=a₁+a₂=S₂=4，b₃=a₃+a₄=S₄-S₂=12，
所以等差數列{b_n}的公差$2d=\frac{{{b_3}-{b_1}}}{2}=4$，
所以前n項和公式為${T_n}=4n+\frac{{（{n-1}）n}}{2}×4$=2n²+2n，
所以T₉=180．
故答案為：180．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．