Question

12．已知雙曲線C的方程記為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），點P（$\sqrt{3}$，0）在雙曲線上．離心率為e=2．
（1）求雙曲線方程；
（2）設雙曲線C的虛軸的上、下端點分別為B₁，B₂（如圖）點A、B在雙曲線上，且$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=λ$\overrightarrow{{B}_{2}B}$，當$\overrightarrow{{B}_{1}A}$•$\overrightarrow{{B}_{1}B}$=0時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）根據雙曲線的性質，即可求得a和b的值，求得雙曲線的方程；
（2）將直線代入雙曲線方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得k的值，求得直線AB的方程．

解答 解：（1）由已知a=$\sqrt{3}$，e=2，c=2$\sqrt{3}$，
∴b²=c²-a²=9，
∴雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）由B₁（0，3），B₂（0，-3），$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=λ$\overrightarrow{{B}_{2}B}$，
∴A，B₁，B₂三點共線，設方程為y=kx-3
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，整理得（3-k²）x²+6kx-18=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由k≠±$\sqrt{3}$，
則x₁+x₂=$\frac{6k}{{k}^{2}-3}$，x₁x₂=$\frac{18}{{k}^{2}-3}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-6=$\frac{18}{{k}^{2}-3}$，
y₁y₂=k²x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=9，由$\overrightarrow{{B}_{1}A}$•$\overrightarrow{{B}_{1}B}$=0，則x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=0，
∴k=±$\sqrt{5}$，由△＞0，
∴所求AB直線為：y=±$\sqrt{5}$x-3．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，考查向量坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．