Question

20．已知函數f（x）=log₃$\frac{1+x}{a-x}$為其定義域內的奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）求不等式f（x）＞1的解集；
（3）證明：$f（\frac{1}{3}）$為無理數．

Answer 1

分析 （1）根據奇函數的性質即可求出a的值，
（2）根據對數函數的性質，并注意對數函數的定義域，
（3）利用反證法證明即可．

解答 解（1）因為f（x）為其定義域內奇函數，
所以  f（x）+f（-x）=0，
即  $f（x）+f（-x）={log_3}\frac{1+x}{a-x}+{log_3}\frac{1-x}{a+x}=0$…．…．…..…．（2分）
即  ${log_3}\frac{{1-{x^2}}}{{{a^2}-{x^2}}}=0⇒\frac{{1-{x^2}}}{{{a^2}-{x^2}}}=1$…..…．（4分）
所以 1-x²=a²-x²⇒a=±1…．…（5分）
當a=-1時，對數無意義，故舍去，
所以a=1…6分
（2）$f（x）={log_3}\frac{1+x}{1-x}$的定義域為（-1，1）…（7分）
由f（x）＞1，得${log_3}\frac{1+x}{1-x}＞1={log_3}3$，
∴$\frac{1+x}{1-x}＞3⇒x＞\frac{1}{2}$…．…．（9分）
又因為f（x）的定義域為（-1，1）
所以f（x）＞1得解集為$（\frac{1}{2}，1）$…（10分）
（3）證明：$f（\frac{1}{3}）={log_3}2$（log₃2＞0）…..…．（11分）
假設log₃2為有理數，則其可以寫成最簡分數形式，而且唯一的，
設${log_3}2=\frac{n}{m}$（其中m，n為兩個互質的正整數）…．…（13分）
得 ${3^{\frac{n}{m}}}=2$，即3ⁿ=2^m（*），
因為m，n為兩個互質的正整數，
所以3^m為奇數，2ⁿ為偶數，顯然奇數不等于偶數，
所以（*）式不成立…（15分）
所以假設不成立，
所以$f（\frac{1}{3}）={log_3}2$為無理數…（16分）

點評 本題考查奇函數的性質不等式的解法，和反證法，考查了學生的運算能力，屬于中檔題．