Question

4．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y），若函數(shù)g（x）=f（a+sinx）+f（2cos²x-3）在（0，π）上有零點，則a的取值范圍是[$\frac{7}{8}$，2]．

Answer 1

分析 由f（0）=0可知2cos²x+sinx+a-3=0在（0，π）上有解，將問題轉化為求h（x）=-2cos²x-sinx+3的值域解決．

解答 解：g（x）=f（a+sinx）+f（2cos²x-3）=f（2cos²x+sinx+a-3），
∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（0）=2f（0），∴f（0）=0，
∵g（x）在（0，π）上有零點，
∴2cos²x+sinx+a-3=0在（0，π）上有解，
即a=-2cos²x-sinx+3在（0，π）上有解，
設h（x）=-2cos²x-sinx+3=2sin²x-sinx+1=2（sinx-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$，
∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，
∴$\frac{7}{8}$≤h（x）≤2．
故答案為[$\frac{7}{8}$，2]．

點評 本題考查了函數(shù)存在性問題與函數(shù)最值計算，換元法解題思想，屬于中檔題．