Question

19．已知點F（-1，0），直線l：x=1，動點P到點F的距離等于它到直線l的距離．
（Ⅰ）試判斷點P的軌跡C的形狀，并寫出其方程．
（Ⅱ）是否存在過N（-4，-2）的直線m，使得直線m所截得的弦AB恰好被點N所平分．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據點P到點F的距離等于它到直線l的距離，利用拋物線的定義，可得點P的軌跡C是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，從而可求拋物線方程為y²=4x；
（Ⅱ）假設存在滿足題設的直線m．設直線m與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中點坐標公式，直線m的斜率存在，設直線m的方程與拋物線方程聯立，消去y，利用韋達定理，列出方程求解可得結論；

解答 解：（Ⅰ）因為點P到點F的距離等于它到直線l的距離，
所以點P的軌跡C是以F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線，…（2分）
所以方程為y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）假設存在滿足題設的直線m．設直線m與軌跡C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=8}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=4}\end{array}\right.$．…（6分）
①當直線m的斜率不存在時，不合題意．…（7分）
②當直線m的斜率存在時，設直線m的方程為y-2=k（x-4），…（8分）
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y-2=k（x-4）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y，得k²x²-（8k²-4k+4）x+（2-4k）²=0，（*） …（9分）
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}}$=8，解得k=1．…（10分）
此時，方程（*）為x²-8x+4=0，其判別式大于零，…（11分）
∴存在滿足題設的直線m，且直線m的方程為：y-2=x-4，即x-y-2=0．…（13分）

點評 本小題考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想等．