Question

2．已知橢圓C：ax²+y²=2的焦點在x軸上，設坐標原點為O，橢圓C的左焦點為F（-2，0）．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）分別過F作兩條相互垂直的直線l₁，l₂，且l₁交橢圓C于A，B兩點，l₂交直線x=-3于點D，問四邊形OADB能否為平行四邊形？若能，求出其面積，若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）橢圓C：ax²+y²=2的焦點在x軸上，化為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{2}{a}}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，橢圓C的左焦點為F（-2，0）．可得$\frac{2}{a}$=2+2²，解得a．可得橢圓C的離心率．
（2）由（1）可得：橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．分類討論：若l₁⊥x軸，其對角線AB與OD不能相互平分，因此不是平行四邊形，舍去．l₁與x軸重合時，不符合題意舍去．去掉上述兩種情況：設直線l₁的方程為：my-2=x．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線l₂的方程為：y=-m（x+2），可得D（-3，m）．線l₁的方程與橢圓方程聯立化為：（6+m²）y²-4my-2=0，假設四邊形OADB能為平行四邊形，則$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{BD}$，即可判斷出結論．

解答 解：（1）橢圓C：ax²+y²=2的焦點在x軸上，化為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{2}{a}}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
橢圓C的左焦點為F（-2，0）．∴$\frac{2}{a}$=2+2²，解得a=$\frac{1}{3}$．
∴橢圓C的離心率=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）由（1）可得：橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
若l₁⊥x軸，其對角線AB與OD不能相互平分，因此不是平行四邊形，舍去．
l₁與x軸重合時，不符合題意舍去．
去掉上述兩種情況：設直線l₁的方程為：my-2=x．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線l₂的方程為：y=-m（x+2），可得D（-3，m）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{my-2=x}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（6+m²）y²-4my-2=0，
可得：y₁+y₂=$\frac{4m}{6+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-2}{6+{m}^{2}}$，
假設四邊形OADB能為平行四邊形，則$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{BD}$，
可得y₁=m-y₂，即y₁+y₂=m=$\frac{4m}{6+{m}^{2}}$，m≠0，化為：m²+2=0，
由△＜0，可得m不存在，因此四邊形OADB不能為平行四邊形．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、平行四邊形的性質、向量相等、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．