Question

11．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（0＜a＜b）的半焦距為c，直線L過（b，0），（0，a）兩點．已知原點到直線L的距離為$\frac{2c}{5}$，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或$\sqrt{5}$
• B． $\frac{5}{4}$或5
• C． 5
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出直線L的方程，利用點到直線的距離公式列出關(guān)系式，然后求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：直線L的方程為：$\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1$，原點到直線L的距離為$\frac{2c}{5}$，
可得：$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{a}^{2}}}}$=$\frac{2c}{5}$，
即：5ab=2c²，
25a²（c²-a²）=4c⁴，
可得25（e²-1）=4e⁴，e＞1，
解得e=$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．