Question

6．已知函數(shù)f（x）=（1+a）lnx+$\frac{2（1-a）{x}^{2}+1}{x}$（a∈R）．
（1）當a＞1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意a∈（2，3）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）（1-a）-2ln3＞f（x₁）-f（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）整理得$m（{1-a}）＞\frac{2}{3}-4（{1-a}）$，問題轉(zhuǎn)化為$m＜\frac{2}{{3（{1-a}）}}-4$恒成立，根據(jù)a的范圍，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1+a}{x}-\frac{1}{x^2}+2（{1-a}）=\frac{{2（{1-a}）{x^2}+（{1+a}）x-1}}{x^2}=\frac{{（{2x-1}）[{（{1-a}）x+1}]}}{x^2}$，
當a＞3時，$\frac{1}{a-1}＜\frac{1}{2}$，令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{a-1}$或$x＞\frac{1}{2}$，
令f'（x）＞0，得$\frac{1}{a-1}＜x＜\frac{1}{2}$；當1＜a＜3時，得$\frac{1}{a-1}＞\frac{1}{2}$，
令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$或$x＞\frac{1}{a-1}$，
令f'（x）＞0，得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{a-1}$；
當a=3時，$f'（x）=-=\frac{{{{（{2x-1}）}^2}}}{x^2}≤0$，
綜上所述，當a＞3時，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為$（{0，\frac{1}{a-1}}）$和$（{\frac{1}{2}，+∞}）$，遞增區(qū)間$（{\frac{1}{a-1}，\frac{1}{2}}）$；
當a=3時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當1＜a＜3時，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為$（{0，\frac{1}{2}}）$和$（{\frac{1}{a-1}，+∞}）$，遞增區(qū)間為$（{\frac{1}{2}，\frac{1}{a-1}}）$．
（2）由（1）可知，當a∈（2，3）時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，
當x=1時，函數(shù)f（x）取最大值；當x=3時，函數(shù)f（x）取最小值，
$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|≤f（1）-f（3）=（{3-2a}）-[{（{1+a}）ln3+\frac{1}{3}+6（{1-a}）}]=\frac{2}{3}-4（{1-a}）+（{-a-1}）ln3$，
∵$（{m+ln3}）（{1-a}）-2ln3＞\frac{2}{3}-4（{1-a}）+（{-a-1}）ln3$，整理得$m（{1-a}）＞\frac{2}{3}-4（{1-a}）$，
∵a＞1，∴$m＜\frac{2}{{3（{1-a}）}}-4$恒成立，
∵2＜a＜3，∴$-\frac{13}{3}＜\frac{2}{{3（{1-a}）}}-4＜-\frac{38}{9}$，
∴$m≤-\frac{13}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．