Question

16．已知復數z=bi（b∈R），$\frac{z-2}{1+i}$是實數，i是虛數單位．
（1）求復數z；
（2）求$|{\frac{1-z}{2+i}}|$
（3）若復數（m+z）²所表示的點在第一象限，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把z=bi（b∈R）代入$\frac{z-2}{1+i}$，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由虛部為0求得b；
（2）把z代入$\frac{1-z}{2+i}$，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再代入復數模的計算公式求解；
（3）把z代入（m+z）²，利用復數代數形式的乘法運算化簡，再由實部與虛部都大于0聯立不等式組求解．

解答 解：（1）∵z=bi（b∈R），
∴$\frac{z-2}{1+i}$=$\frac{bi-2}{1+i}$=$\frac{（bi-2）（1-i）}{（1+i）（1-i）}$=$\frac{（b-2）+（b+2）i}{2}$=$\frac{b-2}{2}$+$\frac{b+2}{2}$i．
又∵$\frac{z-2}{1+i}$是實數，∴$\frac{b+2}{2}$=0，
∴b=-2，則z=-2i；
（2）∵$\frac{1-z}{2+i}=\frac{1+2i}{2+i}=\frac{（1+2i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$，
∴$|{\frac{1-z}{2+i}}|$=$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+（-\frac{3}{5}）^{2}}=1$；
（3）∵z=-2i，m∈R，∴（m+z）²=（m-2i）²=m²-4mi+4i²=（m²-4）-4mi，
又∵復數（m+z）²所表示的點在第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4＞0}\\{-4m＞0}\end{array}\right.$，解得m＜-2，即m∈（-∞，-2）．

點評 題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，訓練了復數模的求法，是基礎題．