Question

1．a＞0，b＞0且$\frac{1}{a}+\frac{1}=\sqrt{ab}$
（1）求證a⁴+b⁴≥8．
（2）是否存在a，b使得2a+b=4？

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性質即可證明，
（2）利用反證法即可證明

解答 證明：（1）a＞0，b＞0，$\frac{1}{a}+\frac{1}=\sqrt{ab}$所以：$\frac{a+b}{ab}$=$\sqrt{ab}$，
所以：a+b=（ab）${\;}^{\frac{3}{2}}$≥2$\sqrt{ab}$  所以：ab≥2僅當a=b取得等號
所以：a⁴+b⁴≥2a²b²=8  僅當a=b取得等號，
（ 2）2a+b≥2$\sqrt{2ab}$，當且當2a=b取得等號，又ab≥2僅當a=b取得等號
所以：2a+b≥4，僅當a=b=0取得等號與題目條件矛盾
所以不存在a、b使得2a+b=4

點評 本題考查基本不等式在最值中的應用，考查轉化思想，以及計算能力．