Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，E是PD上一點．
（1）求證：AC⊥BE．
（2）若PD=AD=1，且∠PCE的余弦值為

3 10

10

，求三棱錐E-PBC的體積．
（3）在（2）的條件下，求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連接BD，通過證明AC⊥BD，AC⊥PD，利用直線與平面垂直的判定定理證明AC⊥面PBD，然后證明AC⊥BE得證．
（2）PD=AD=1，設PE=x，表示出CE，通過PC=

2

，cos∠PCE=

3

10

，由余弦定理求得：x的值，判斷E為PD中點，
轉化VE-PBC=

1

2

VP-BCD求解即可．
（3）在（2）的條件下，連結BD交AC于點O，連結OE，說明∠BOE為二面角B-AC-E的平面角．通過解三角形，即可求二面角B-AC-E的余弦值．

解答： 解：（1）連接BD，因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
又PD⊥面ABCD，得AC⊥PD，
又BD?面PBD，PD?面PBD，BD∩PD=D，所以AC⊥面PBD，
因為BE?面PBD，故AC⊥BE得證；
（2）設PE=x，則CE=

DE2+CD2

=

(1-x)2+1

  
又PC=

2

，cos∠PCE=

3

10

，
∴在△PCE中，由余弦定理x²=CE²+PC²-2CE•PEcoscos∠PCE，
求得：x=

1

2

，即E為PD中點，
所以VE-PBC=

1

2

VP-BCD
V_P-BCD=

1

3

•PD•S_△BCD=

1

3

×1×1×1×

1

2

=

1

6

所以VE-PBC=

1

12

．
（3）連結BD交AC于點O，連結OE，由正方形ABCD可得AC⊥BD，
∵PD⊥面ABCD，AC?ABCD，
∴AC⊥DE，則易得AC⊥OE，
∴∠BOE為二面角B-AC-E的平面角．
由（2）知E為PD中點，則DE=

1

2

，
在正方形ABCD中，OD=

2

2

AD=

2

2

，
∴OE=

DE2+DO2

=

3

2

，
則COS∠DOE=

OD

OE

=

6

3

，
∴COS∠BOE=COS(π-∠DOE)=-COS∠DOE=-

6

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質定理的應用，二倍角的平面角的求法，考查轉化思想以及計算能力．