Question

已知函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（2+x）=f（6-x），且當x≠4時其導函數f′（x）滿足xf′（x）＞4f′（x），若9＜a＜27，則（　　）

• A、f（2

  a

  ）＜f（6）＜f（1og₃a）
• B、f（6）＜f（2

  a

  ）＜f（1og₃a）
• C、f（1og₃a）＜f（2

  a

  ）＜f（6）
• D、f（1og₃a）＜f（6）＜f（2

  a

  ）

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：由f（2+x）=f（6-x），可知函數f（x）關于直線x=4對稱，由xf′（x）＞4f′（x），可知f（x）在（-∞，4）與（4，+∞）上的單調性，從而可得答案

解答： 解：∵函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（2+x）=f（6-x），
∴f（x）關于直線x=4對稱；
又當x≠4時其導函數f′（x）滿足xf′（x）＞4f′（x）?f′（x）（x-4）＞0，
∴當x＞4時，f′（x）＞0，f（x）在（4，+∞）上的單調遞增；
同理可得，當x＜4時，f（x）在（-∞，4）單調遞減；
∵9＜a＜27，
∴2＜log₃a＜3，8＜2

a

＜8•2

3

，
∴f（log₃a）＜f（6）＜f（2

a

），
故選：D

點評：本題考查抽象函數及其應用，考查導數的性質，判斷f（x）在（-∞，4）與（4，+∞）上的單調性是關鍵，屬于中檔題．