Question

如圖，在四棱錐中P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，點M在線段PC上，且PM=2MC，N為AD的中點．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PNB；
（Ⅱ）（只文科生做）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P-NBM的體積；
（只理科生做）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角P-NB-M的平面角的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)題中的已知條件求出線線垂直在得到線面垂直，最后轉(zhuǎn)化出結(jié)論．
（Ⅱ）（文科）根據(jù)面面垂直轉(zhuǎn)化出線面垂直，再根據(jù)已知條件求出錐體的體積．
（理科）先作出二面角的平面角，利用面面垂直和相關(guān)的線段長，再根據(jù)解三角形知識求出結(jié)果

解答： 證明：（ I）PA=PD，N為AD的中點，
∴PN⊥AD，
又底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，
∴BN⊥AD，
∴AD⊥平面PNB，
∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PNB．
（ II）（文科）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD
∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，
∵PA=PD=AD=2
∴PN=NB=

3

，
∴S△PNB=

3

2

又BC⊥平面PNB，PM=2MC，
∴VP-NBM=VM-PNB=

2

3

VC-PNB=

2

3

•

1

3

•

1

2

•

3

•

3

•2=

2

3

．
（理科）作ME∥BC交PB于E點，作EF⊥NB于F點，連結(jié)MF．
∵BC⊥平面PNB，
∴ME⊥平面PNB，EF是MF在平面PNB上的射影
∴MF⊥BN，
∴∠MFE是二面角P-NB-M的平面角，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD
∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，
∵PA=PD=AD=2∴PN=

3

，
在△PBC中可知ME=

2

3

BC=

4

3

，
在△PNB中EF=

1

3

PN=

3

3

∴tan∠MFE=

4 3

3

．

點評：本題考查的知識要點：線面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理，錐體的體積公式的應(yīng)用，二面角的應(yīng)用．屬于中等題型．