Question

已知動直線x=α（α∈R）與x軸交于A點，與函數f（x）=sinx和g（x）=cos（x+

π

6

）的圖象分別交于M、N兩點，設h（α）=|AM|²+|AN|²．
（Ⅰ）求函數h（α）的最小正周期及值域；
（Ⅱ）求函數h（α）的單調遞增區間．

Answer 1

考點：余弦函數的圖象,函數單調性的判斷與證明

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）首先，寫出A（a，0），M（a，sina），N（a，cos（a+

π

6

）），構造函數，再求解其周期和值域；
（Ⅱ）直接根據余弦函數的單調性求解．

解答： 解：（Ⅰ）根據題意，得A（α，0），M（α，sinα），N（α，cos（α+

π

6

）），
∴h（α）=|AM|²+|AN|²
=cos（α+

π

6

）+sinα
=cosαcos

π

6

-sinαsin

π

6

+sinα
=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=cos（α-

π

6

）
∴T=

2π

1

=2π，
值域為[-1，1]．
（Ⅱ）結合（Ⅰ）得
h（α）=cos（α-

π

6

）
令-π+2kπ≤α-

π

6

≤2kπ，k∈Z，
∴-

5π

6

+2kπ≤α≤

π

6

+2kπ，k∈Z，
∴函數h（α）的單調遞增區間[-

5π

6

+2kπ，

π

6

+2kπ]，k∈Z．

點評：本題重點考查了三角函數圖象和性質，三角函數的周期性等知識，屬于中檔題．