Question

如圖，四棱錐P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設AD=2，PA=AB=1，求點D到平面AEC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）首先利用中位線定理得到線線平行，進一步轉化為線面平行．
（Ⅱ）利用余弦定理求出相關的線段的長為求錐體的體積打下基礎，利用不同的角度計算錐體的體積，進一步求出點到直線的距離．

解答： 證明：（Ⅰ）連結BD交AC于點O，底面ABCD為平行四邊形，
可得：O是BD的中點，E為PD的中點．
所以：PB∥OE
PB?平面AEC，OE?平面AEC
所以：PB∥平面AEC
（Ⅱ）由AD=2，PA=AB=1，∠ABC=60°，
利用余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC
解得：AC=

3

因為：PA⊥平面ABCD
解得：PB=

2

利用中位線得：OE=

2

2

設：點D到平面AEC的距離h，
根據V_E-ACD=V_D-ACE
所以：

1

2

×

1

3

×

3

2

=

1

3

×

6

4

h
解得：h=

2

2

點評：本題考查的知識要點：線面平行的判定定理，余弦定理得應用．點到面之間的距離，錐體的體積公式的應用．屬于基礎題型．