Question

11．已知函數$f（x）=\frac{-4x+5}{x+1}$，$g（x）=asin（\frac{π}{3}x）+2a$（a＞0），若對任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使g（x₁）=f（x₂）成立，則實數a的取值范圍是  $（0，\frac{5}{3}]$．

Answer 1

分析 求出x₂∈[0，2]時f（x₂）的值域，x₁∈[0，2]時g（x₁）的值域；
根據題意得出關于a的不等式組，求出a的取值范圍．

解答 解：函數$f（x）=\frac{-4x+5}{x+1}$=-4+$\frac{9}{x+1}$，
$g（x）=asin（\frac{π}{3}x）+2a$（a＞0），
x₂∈[0，2]，x₂+1∈[1，3]，
∴$\frac{9}{{x}_{2}+1}$∈[3，9]，
∴-4+$\frac{9}{{x}_{2}+1}$∈[-1，5]，
即f（x₂）∈[-1，5]；
又x₁∈[0，2]，$\frac{π}{3}$x₁∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
sin（$\frac{π}{3}$x₁）∈[0，1]，
∴g（x）=asin（$\frac{π}{3}$x₁）+2a∈[a，3a]；
對任意x₁∈[0，2]，總存在x₂∈[0，2]，使g（x₁）=f（x₂）成立，
等價于$\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{3a≤5}\end{array}\right.$，
解得-1≤a≤$\frac{5}{3}$；
又a＞0，
∴實數a的取值范圍是0＜a≤$\frac{5}{3}$．
故答案為：（0，$\frac{5}{3}$]．

點評 本題主要考查了求函數的值域以及正弦函數的圖象與性質的應用問題，體現了轉化思想，是中檔題．