Question

20．設點P（x，y）是曲線a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一點，其坐標（x，y）均滿足$\frac{x^2}{2}+{y^2}≤1$，則$\sqrt{2}$a+b取值范圍為[2，+∞）．

Answer 1

分析 畫出橢圓的區域，曲線表示的形狀，利用圖形推出a，b的范圍，然后推出結果．

解答 解：滿足$\frac{x^2}{2}+{y^2}≤1$，是以F₁（-1，0），F₂（1，0）為焦點的橢圓內部，
曲線a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）為如下圖所示的菱形ABCD，$C（\frac{1}{a}，0），D（0，\frac{1}{b}）$．
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2y+1}+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2y+1}≤2\sqrt{2}$，所以$\frac{1}{a}≤\sqrt{2}，\frac{1}{b}≤1$，
即$a≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}，b≥1$．
所以$\sqrt{2}a+b≥\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+1=2$．
則$\sqrt{2}$a+b取值范圍為：[2，+∞）．
故答案為：[2，+∞）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質以及不等式的簡單性質的應用，考查計算能力．