Question

6．若存在正實數m，使得關于x的方程x+a（2x+2m-4ex）[ln（x+m）-lnx]=0成立，其中e為自然對數的底數，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． $（0，\frac{1}{2e}）$
• C． $（-∞，0）∪[\frac{1}{2e}，+∞）$
• D． $[\frac{1}{2e}，+∞）$

Answer 1

分析 根據函數與方程的關系將方程進行轉化，利用換元法轉化為方程有解，構造函數求函數的導數，
利用函數極值和單調性的關系進行求解即可

解答 解：由x+a（2x+2m-4ex）[ln（x+m）-lnx]=0得
x+2a（x+m-2ex）ln$\frac{x+m}{x}$=0，
即1+2a（$\frac{x+m}{x}$-2e）ln$\frac{x+m}{x}$=0，
即設t=$\frac{x+m}{x}$，則t＞0，
則條件等價為1+2a（t-2e）lnt=0，
即（t-2e）lnt=-$\frac{1}{2a}$有解，
設g（t）=（t-2e）lnt，
g′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$為增函數，
∵g′（e）=lne+1-$\frac{2e}{e}$=1+1-2=0，
∴當t＞e時，g′（t）＞0，
當0＜t＜e時，g′（t）＜0，
即當t=e時，函數g（t）取得極小值為：g（e）=（e-2e）lne=-e，
即g（t）≥g（e）=-e，
若（t-2e）lnt=-$\frac{1}{2a}$有解，
則-$\frac{1}{2a}$≥-e，即$\frac{1}{2a}$≤e，
則a＜0或a≥$\frac{1}{2e}$，
∴實數a的取值范圍是（-∞，0）∪[$\frac{1}{2e}$，+∞）．
故選：C．

點評 本題主要考查了不等式恒成立問題，根據函數與方程的關系，轉化為兩個函數相交問題，利用構造法和導數法求出函數的極值和最值是解題的關鍵．