Question

16．由區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+2y-4≥0}\\{x+y-4≤0}\end{array}\right.$中的點在直線ax+by+c=0（a，b，c∈R）上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則|AB|的最小值為$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用投影的定義，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分），
三條直線的交點分別為P（$\frac{4}{5}，\frac{8}{5}$），Q（4，0），R（$\frac{4}{3}，\frac{8}{3}$），因為PQ⊥PR，可行域為Rt△PQR，作斜邊RQ的高PT，求值PQ=$\frac{8}{\sqrt{5}}$，PR=$\frac{8}{3\sqrt{5}}$，RQ=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
所以當直線ax+by+c=0（a，b，c∈R）與PT平行時，區(qū)域中的點在直線上的投影構(gòu)成的線段記為AB最小，
則|AB|的最小值為$\frac{PQ•PR}{RQ}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$；
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃問題；關(guān)鍵是明確直線ax+by+c=0（a，b，c∈R）上的投影構(gòu)成的線段AB最小值時直線的位置．運用了數(shù)形結(jié)合的思想．