Question

5．函數f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}cos（{ωx+φ}）（{ω＞0}）$的圖象過（1，2），若f（x）相鄰的零點為x₁，x₂且滿足|x₁-x₂|=6，則f（x）的單調增區間為（　　）

• A． [-2+12k，4+12k]（k∈Z）
• B． [-5+12k，1+12k]（k∈Z）
• C． [1+12k，7+12k]（k∈Z）
• D． [-2+6k，1+6k]（k∈Z）

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，相鄰的零點為x₁，x₂且滿足|x₁-x₂|=6，可得周期為12．求出ω，結合三角函數的圖象和性質，求出單調增區間．

解答 解：由$f（x）=sin（ωx+ϕ）+\sqrt{3}cos（ωx+ϕ）=2sin（ωx+ϕ+\frac{π}{3}）$，
∵f（x）相鄰的零點為x₁，x₂且滿足|x₁-x₂|=6，
∴f（x）的周期為12，即$\frac{2π}{ω}$=12，
∴ω=$\frac{π}{6}$．
那么f（x）=2sin（$\frac{π}{6}x$+φ+$\frac{π}{3}$）．
∵圖象過（1，2）點，
則f（x）在x=1處取得最大值，即sin（$\frac{π}{6}$+φ+$\frac{π}{3}$）=cosφ=1．
∴φ=0+2kπ．
令k=0，可得φ=0．
則函數解析式f（x）=2sin（$\frac{π}{6}x$+$\frac{π}{3}$）．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：-5+12k，≤x≤1+12k，
∴f（x）的單調增區間為[-5+12k，1+12k]（k∈Z）．
故選；B．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．