Question

20．平面直角坐標系中，已知O為坐標原點，點A、B的坐標分別為（1，1）、（-3，3）．若動點P滿足$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，其中λ、μ∈R，且λ+μ=1，則點P的軌跡方程為（　　）

• A． x-y=0
• B． x+y=0
• C． x+2y-3=0
• D． （x+1）²+（y-2）²=5

Answer 1

分析 由已知向量等式可知P在AB所在的直線上，由直線方程的兩點式得答案．

解答 解：由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，得$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}$=$λ（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）+\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=λ\overrightarrow{BA}$，即$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BA}$，則P、A、B三點共線．
設P（x，y），則P在AB所在的直線上，
∵A（1，1）、B（-3，3），
∴AB所在直線方程為$\frac{y-1}{3-1}=\frac{x-1}{-3-1}$，整理得：x+2y-3=0．
故P的軌跡方程為：x+2y-3=0．
故選：C．

點評 本題考查共線向量基本定理的應用，考查軌跡方程的求法，考查數學轉化思想方法，是中檔題．