Question

8．已知函數f（x）是偶函數，f（x+1）是奇函數，且對任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，設a=f（$\frac{82}{11}$），b=-f（$\frac{50}{9}$），c=f（$\frac{24}{7}$），則下列結論正確的是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． b＞a＞c
• C． b＞c＞a
• D． c＞a＞b

Answer 1

分析 根據題意，由函數的奇偶性性質分析可得f（x）=-f（2+x），則有f（x）=f（x+4），可得函數f（x）的周期為4，又由題意分析可得函數f（x）在區間[0，1]上為減函數，進而分析可得a=f（$\frac{82}{11}$）=f（-$\frac{6}{11}$）=f（$\frac{6}{11}$），b=-f（$\frac{50}{9}$）=f（$\frac{68}{9}$）=f（-$\frac{4}{9}$）=f（$\frac{4}{9}$），c=f（$\frac{24}{7}$）=f（-$\frac{4}{7}$）=f（$\frac{4}{7}$），結合單調性，即可得答案．

解答 解：根據題意，f（x+1）是奇函數，則函數f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，
則有f（-x）=-f（2+x），
又由函數f（x）是偶函數，則f（x）=f（-x），
則f（x）=-f（2+x），
則有f（x）=f（x+4），即函數f（x）的周期為4，
則a=f（$\frac{82}{11}$）=f（-$\frac{6}{11}$）=f（$\frac{6}{11}$），b=-f（$\frac{50}{9}$）=f（$\frac{68}{9}$）=f（-$\frac{4}{9}$）=f（$\frac{4}{9}$），
c=f（$\frac{24}{7}$）=f（-$\frac{4}{7}$）=f（$\frac{4}{7}$），
對任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
即函數f（x）在區間[0，1]上為減函數，
又由$\frac{4}{7}$＞$\frac{6}{11}$＞$\frac{4}{9}$，
則有b＞a＞c；
故選：B．

點評 本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，涉及函數的周期性，關鍵是分析得到函數的周期．