Question

7．設函數f（x）=ax²-a-lnx，其中a∈R．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）＞$\frac{1}{x}$-e^1-x在區間（1，+∞）內恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的倒數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）原不等式等價于$f（x）-\frac{1}{x}+{e^{1-x}}＞0$在x∈（1，+∞）上恒成立，令$g（x）=f（x）-\frac{1}{x}+{e^{1-x}}=a{x^2}-lnx-\frac{1}{x}+{e^{1-x}}-a$，得到a≥$\frac{1}{2}$，求出F（x）在x∈（1，+∞）單調遞增，從而確定a的范圍即可．

解答 解：（1）$f'（x）=2ax-\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}-1}}{x}，x＞0$（1分）
①當a≤0時，2ax²-1≤0，f'（x）≤0，
f（x）在（0，+∞）上單調遞減．（3分）
②當a＞0時，$f'（x）=\frac{{2a（x+\sqrt{\frac{1}{2a}}）（x-\sqrt{\frac{1}{2a}}）}}{x}$，
當$x∈（{0，\sqrt{\frac{1}{2a}}}）$時，f'（x）＜0； 當$x∈（{\sqrt{\frac{1}{2a}}，+∞}）$時，f'（x）＞0．
故f（x）在$（{0，\sqrt{\frac{1}{2a}}}）$上單調遞減，在$（{\sqrt{\frac{1}{2a}}，+∞}）$上單調遞增．（6分）
（2）原不等式等價于$f（x）-\frac{1}{x}+{e^{1-x}}＞0$在x∈（1，+∞）上恒成立．
一方面，令$g（x）=f（x）-\frac{1}{x}+{e^{1-x}}=a{x^2}-lnx-\frac{1}{x}+{e^{1-x}}-a$，
只需g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0即可．
又∵g（1）=0，故g'（x）在x=1處必大于等于0．
令$F（x）=g'（x）=2ax-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-{e^{1-x}}$，g'（1）≥0，可得$a≥\frac{1}{2}$．（9分）
另一方面，
當$a≥\frac{1}{2}$時，$F'（x）=2a+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}+{e^{1-x}}≥1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}+{e^{1-x}}=\frac{{{x^3}+x-2}}{x^3}+{e^{1-x}}$
∵x∈（1，+∞）故x³+x-2＞0，又e^1-x＞0，故F'（x）在$a≥\frac{1}{2}$時恒大于0．
∴當$a≥\frac{1}{2}$時，F（x）在x∈（1，+∞）單調遞增．
∴F（x）＞F（1）=2a-1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）單調遞增．
∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．
綜上，$a≥\frac{1}{2}$．（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．