Question

17．在平面直角坐標系xoy中，圓C的方程為x²+y²-8x+15=0，若直線l：kx-y-2k-3=0與圓C相交于A，B兩點，使△ABC為直角三角形，則k=k=1或k=$\frac{17}{7}$；若直線l上至少存在一點，使得以該點為圓心，$\frac{1}{2}$為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最小值為$\frac{24-3\sqrt{85}}{7}$．

Answer 1

分析 由題意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圓心C（4，0）到直線l：kx-y-2k-3=0的距離等于r•sin45°，再利用點到直線的距離公式求得k的值；由題意，只需（x-4）²+y²=$\frac{9}{4}$與直線l：kx-y-2k-3=0有公共點，轉化為圓心C（4，0）到直線l：kx-y-2k-3=0的距離為d=$\frac{|4k-2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≤\frac{3}{2}$求解．

解答 解：化圓x²+y²-8x+15=0為（x-4）²+y²=1，圓心坐標為C（4，0），半徑r=1．
由題意可得△ABC是等腰直角三角形，
∴圓心C（4，0）到直線l：kx-y-2k-3=0的距離等于r•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
再利用點到直線的距離公式可得$\frac{|4k-2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：k=1或k=$\frac{17}{7}$；
直線l：kx-y-2k-3=0上至少存在一點，使得以該點為圓心，$\frac{1}{2}$為半徑的圓與圓C有公共點，
∴只需圓C′：（x-4）²+y²=$\frac{9}{4}$與直線l：kx-y-2k-3=0有公共點即可．
設圓心C（4，0）到直線l：kx-y-2k-3=0的距離為d，則d=$\frac{|4k-2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≤\frac{3}{2}$，即7k²-48k-27≤0，
解得$\frac{24-3\sqrt{85}}{7}$≤k≤$\frac{24+3\sqrt{85}}{7}$，故k的最小值是$\frac{24-3\sqrt{85}}{7}$．
故答案為：k=1或k=$\frac{17}{7}$；$\frac{24-3\sqrt{85}}{7}$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系，直角三角形中的邊角關系，點到直線的距離公式的應用，考查數學轉化思想方法，是中檔題．