Question

6．觀察下列等式，猜想一個一般性的結論，并用數學歸納法證明．
1-x²=（1-x）（1+x），
1-x³=（1-x）（1+x+x²），
1-x⁴=（1-x）（1+x+x²+x³）．

Answer 1

分析 歸納猜想得：1-xⁿ=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^n-1），n∈N*．檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立

解答 解：歸納猜想得：1-xⁿ=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^n-1），n∈N*．
證明如下：①當n=1時，左邊=1-x，右邊=1-x，猜想成立；         
②假設n=k（k≥1）時猜想成立，即1-x^k=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^k-1）成立，
當n=k+1時，右邊=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^k-1+x^k）
=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^k-1）+（1-x）x^k=1-x^k+（1-x）x^k=1-x^k+1=左邊
所以n=k+1時猜想也成立．
由①②可得，1-xⁿ=（1-x）（1+x+x²+x³+…+x^n-1），n∈N*成立．

點評 本題考查數列的遞推公式，用數學歸納法證明等式成立．證明當n=k+1時命題也成立，是解題的難點．