Question

16．（1）求函數$f（x）=\frac{1}{{1+\frac{1}{x}}}$的定義域；
（2）求函數$f（x）=x+\sqrt{x-1}$的值域；
（3）畫出函數$f（x）=|{x+1}|+\sqrt{{{（x-2）}^2}}$的圖象并通過圖象寫出值域以及單調區間．

Answer 1

分析 （1）由分母不為零列不等式組解出；
（2）令$\sqrt{x-1}$=t，使用換元法解出值域；
（3）化簡f（x）的解析式，作出函數圖象，根據圖象得出結論．

解答 解：（1）由f（x）有意義得$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{1+\frac{1}{x}≠0}\end{array}\right.$解得x≠0且x≠-1．
∴f（x）的定義域為{x|x≠0且x≠-1}．
（2）由f（x）有意義得x-1≥0，即x≥1．
設t=$\sqrt{x-1}$，則x=t²+1（t≥0），
∴x+$\sqrt{x-1}$=t²+t+1=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
令g（t）=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，則g（t）在[0，+∞）上單調遞增，
∴g（t）≥g（0）=1．
∴f（x）=x+$\sqrt{x-1}$的值域為[1，+∞）．
（3）f（x）=|x+1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1，x≤-1}\\{3，-1＜x＜2}\\{2x-1，x≥2}\end{array}\right.$，
作出函數圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）的值域為[3，+∞），單調增區間為[2，+∞），單調減區間為（-∞，-1]．

點評 本題考查了函數定義域，值域的求法，分段函數的圖象與性質，屬于中檔題．