Question

1．設f（x）=ax-4x³，對?x∈[-1，1]總有f（x）≤1，則a的取值范圍是{3}．

Answer 1

分析 求出函數的導數，得到函數的單調性，求出f（x）的最大值，求出a的值即可．

解答 解：對?x∈[-1，1]總有f（x）≤1，
即ax≤4x³+1在[-1，1]恒成立，
x=0時，顯然成立，
x＞0時，問題轉化為a≤4x²+$\frac{1}{x}$，
而y=4x²+$\frac{1}{x}$≥3$\sqrt{{4x}^{2}•\frac{1}{2x}•\frac{1}{2x}}$=3，
當且僅當4x²=$\frac{1}{2x}$即x=$\frac{1}{2}$時“=”成立，
故a≤3，
x＜0時，問題轉化為a≥4x²+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=4x²+$\frac{1}{x}$，x∈[-1，0），
g′（x）=8x-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，
故g（x）在[-1，0）遞減，
g（x）_max=g（-1）=3，
故a≥3，
綜上，a=3
故答案為：{3}．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．