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11.(1)已知橢圓的兩焦點為F1(-$\sqrt{3}$,0),F(xiàn)2($\sqrt{3}$,0),離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.求此橢圓的方程;
(2)過點(3,-2)且與橢圓4x2+9y2=36有相同焦點的橢圓的方程.

分析 (1)設(shè)橢圓的標準方程,根據(jù)橢圓的性質(zhì),即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(2)先根據(jù)橢圓4x2+9y2-36=0求得焦點坐標,進而求得橢圓的半焦距c,根據(jù)橢圓過點(3,-2)求得a,最后根據(jù)a和c與a的關(guān)系求得a和b即可.

解答 解:(1)由題意可知:橢圓的焦點在x軸上,設(shè)橢圓的方程:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$(a>b>0),
由c=$\sqrt{3}$,e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,則a=2,
b2=a2-c2=1,
∴橢圓的方程:$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$;
(2)橢圓4x2+9y2=36的標準方程:$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$,焦點F1(-$\sqrt{5}$,0),F(xiàn)2($\sqrt{5}$,0),
設(shè)橢圓的方程:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$(a>b>0),
∴橢圓的半焦距c=$\sqrt{5}$,即a2-b2=5
∵$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}-5}=1$,
∴解得:a2=15,b2=10
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$.

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法,考查橢圓性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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