Question

3．設點M（x₁，f（x₁））和點N（x₂，g（x₂））分別是函數$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}$和g（x）=x-1圖象上的點，且x₁≥0，x₂＞0，x₁≠x₂，若不等式|x₁-x₂|≥|MN|≥k對任意x₁≥0，x₂＞0，x₁≠x₂恒成立，則k的最大值為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{2-ln2}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{9-ln2}{4}$

Answer 1

分析 由題意可得f（x₁）=g（x₂），由點M（x₁，f（x₁））和點N（x₂，g（x₂））分別是函數f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²和g（x）=x-1圖象上的點，可得f（x₁）=g（x₂），即${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}={x}_{2}-1$，令h（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+1-x（x≥0），求出其導函數，進而求得h（x）的最小值即為M、N兩點間的最短距離，則k的最大值可求．

解答 解：M（x₁，f（x₁））是函數$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}$圖象上的點，N（x₂，g（x₂））是g（x）=x-1圖象上的點，
若|x₁-x₂|≥|MN|，則|x₁-x₂|≥$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）]^{2}}$，即f（x₁）=g（x₂）．
∵點M（x₁，f（x₁））和點N（x₂，g（x₂））分別是函數f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²和g（x）=x-1圖象上的點，
且x₁≥0，x₂＞0時，f（x₁）=g（x₂），即${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}={x}_{2}-1$，
則M，N兩點間的距離為x₂-x₁=${e}^{{x}_{1}}-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}+1-{x}_{1}$．
令h（x）=e^x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+1-x，x≥0，則h′（x）=e^x-x-1，h″（x）=e^x-1≥0，
故h′（x）在[0，+∞）上單調遞增，故h′（x）=e^x-x-1≥h′（0）=0，
∴h（x）在[0，+∞）上單調遞增，故h（x）的最小值為h（0）=1-0+1-0=2，
即M，N兩點間的距離的最小值為2，
由不等式|x₁-x₂|≥|MN|≥k對任意x₁≥0，x₂＞0，x₁≠x₂恒成立，則k的最大值為2．
故選：A．

點評 本題主要考查了利用函數的導數求出函數的單調性以及函數的極值問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．