Question

6．如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上，則梯形周長的最大值為10．

Answer 1

分析 作DE⊥AB于E，連接BD，根據相似關系求出AE，而CD=AB-2AE，從而求出梯形ABCD的周長y與腰長x間的函數解析式，根據AD＞0，AE＞0，CD＞0，可求出定義域；利用二次函數在給定區間上求出最值的知識可求出函數的最大值．

解答 解：如圖，作DE⊥AB于E，連接BD．
因為AB為直徑，所以∠ADB=90°．
在Rt△ADB與Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
所以Rt△ADB∽Rt△AED．
所以$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AD}$，即AE=$\frac{A{D}^{2}}{AB}$．
又AD=x，AB=4，所以AE=$\frac{{x}^{2}}{4}$．
所以CD=AB-2AE=4-$\frac{{x}^{2}}{2}$，
于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4-$\frac{{x}^{2}}{2}$+x=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，$\frac{{x}^{2}}{4}$＞0，4-$\frac{{x}^{2}}{2}$＞0，
解得0＜x＜2$\sqrt{2}$，
故所求的函數為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8（0＜x＜2）
y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+10，
又0＜x＜2$\sqrt{2}$，所以，當x=2時，y有最大值10．

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題．射影定理的應用是解決此題的關鍵，二次函數在解決實際問題中求解最值的常用的方法，屬于中檔題．