Question

2．數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=$\frac{1}{2}{n^2}$+An，若a₂=2，則A=$\frac{1}{2}$，數列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n項和T_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 由已知得a₂=S₂-S₁=$\frac{3}{2}+a$=2，從而a=$\frac{1}{2}$，利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出a_n=n，從而$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，由此利用裂項求和法能求出數列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n項和．

解答 解：∵數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=$\frac{1}{2}{n^2}$+An，a₂=2，
∴a₂=S₂-S₁=（$\frac{1}{2}×4+2a$）-（$\frac{1}{2}×1+a$）=$\frac{3}{2}+a$=2，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}×1+\frac{1}{2}$=1，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$）-[$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{1}{2}（n-1）$]=n，
當n=1時，上式成立，∴a_n=n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n項和：
T_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查等差數列的前n項和的求法，考查數列的通項公式的求法及應用、裂項求和法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．