Question

12．已知A、B分別為橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點，兩個不同的動點P、Q在橢圓C上且關于x軸對稱，設直線AP、BQ的斜率分別為m、n，則當$\frac{1}{2mn}$+ln|m|+ln|n|取最小值時，橢圓C的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由題意設出P，Q的坐標，代入橢圓方程可得$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，寫出AP，BQ的斜率m，n，求出mn=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，代入$\frac{1}{2mn}$+ln|m|+ln|n|，換元后利用導數求最值，得到使$\frac{1}{2mn}$+ln|m|+ln|n|取最小值的條件，即可求得橢圓C的離心率．

解答 解：設P（x₀，y₀），則Q（x₀，-y₀），
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$，則${{y}_{0}}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$，
∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
又A（-a，0），B（a，0），
∴m=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，n=$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$，
∴mn=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{1}{2mn}$+ln|m|+ln|n|=$\frac{{a}^{2}}{2{b}^{2}}+ln\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
令$\frac{a}{b}=t$（t＞1），則f（t）=$\frac{1}{2mn}$+ln|m|+ln|n|=$\frac{{a}^{2}}{2{b}^{2}}+ln\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}}{2}-2lnt$，
f′（t）=t-$\frac{2}{t}$=$\frac{{t}^{2}-2}{t}$，
當t∈（1，$\sqrt{2}$）時，f′（t）＜0，當t∈（$\sqrt{2}$，+∞）時，f′（t）＞0，
∴f（t）在（1，$\sqrt{2}$）上為減函數，在（$\sqrt{2}$，+∞）上為增函數．
可知：當t=$\sqrt{2}$，即$\frac{a}{b}=\sqrt{2}$時，函數f（t）取得最小值．
∴$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}=\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=2$，即a²=2c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，是中檔題．