Question

20．（1）解不等式|x-1|+|x-2|≥5；
（2）已知$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1（{m＞0，n＞0}）$，若m+4n≥|x-1|-|x-a|恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍得到關于x的不等式組，解出即可；
（2）根據基本不等式的性質求出m+4n的最小值，問題轉化為|x-1|-|x-a|≤9恒成立，根據絕對值的性質得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）|x-1|+|x-2|≥5
?$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x-1+x-2≥5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{x-1-x+2≥5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{-x+1-x+2≥5}\end{array}\right.$，
解得：x≥4或x∈∅或x≤-1，
故原不等式的解集是（-∞，-1]∪[4，+∞）；
（2）m+4n=（m+4n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=5+$\frac{4n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥9，
當且僅當$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，m=2n即m=3，n=$\frac{3}{2}$時取“=”，
∵m+4n≥|x-1|-|x-a|恒成立，
∴|x-1|-|x-a|≤9恒成立，
故|x-1-x+a|=|a-1|≤9，解得：-8≤a≤10，
故a的范圍是[-8，10]．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及轉化思想，是一道中檔題．