Question

10．設a，b為不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，給
出下列命題：
（1）若a∥α且b∥α，則a∥b；       
（2）若a∥α且a⊥β，則α∥β
（3）若α⊥β，則一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β
（4）若α⊥β，則一定存在直線l，使得l⊥α，l∥β
上面命題中，所有真命題的序號是（3）（4）．

Answer 1

分析 在（1）中，a與b相交、平行或異面； 在（2）中，α與β相交；在（3）中，如教室墻角，一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；在（4）中，若α⊥β，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面ABCD⊥面ADD₁A₁，則一定存在直線BB₁，使得BB₁⊥面ABCD，BB₁∥面ADD₁A₁．

解答 解：由a，b為不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個平面，知：
在（1）中，若a∥α且b∥α，則a與b相交、平行或異面，故（1）錯誤；
在（2）中，若a∥α且a⊥β，則α與β相交，故（2）錯誤；
在（3）若α⊥β，如教室墻角，一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β，故（3）正確；
在（4）中，若α⊥β，如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
面ABCD⊥面ADD₁A₁，則一定存在直線BB₁，使得BB₁⊥面ABCD，BB₁∥面ADD₁A₁，故（4）正確．
故答案為：（3）（4）．

點評 本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．