Question

1．已知變量x，y（x，y∈R）滿足約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y≥5}\\{y-3≤0}\end{array}}\right.$，若不等式（x+y）²≥c（x²+y²）（c∈R）恒成立，則實數c的最大值為$\frac{25}{13}$．

Answer 1

分析 利用分式不等式的性質將不等式進行分類，結合線性規劃以及恒成立問題．利用數形結合進行求解即可．

解答 解：由題意知：可行域如圖，
又∵（x+y）²≥c（x²+y²）（在可行域內恒成立）．
且c≤$\frac{（x+y）^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1+$\frac{\frac{2y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$=1+$\frac{2}{\frac{1}{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}}$，
故只求z=1+$\frac{2}{\frac{1}{\frac{y}{x}}+\frac{y}{x}}$的最大值即可．
設k=$\frac{y}{x}$，則有圖象知A（2，3），
則OA的斜率k=$\frac{3}{2}$，BC的斜率k=1，
由圖象可知即1≤k≤$\frac{3}{2}$，
∵z=k+$\frac{1}{k}$在[1，$\frac{3}{2}$]上為增函數，
∴當k=$\frac{3}{2}$時，z取得最大值z=$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{13}{6}$，
此時1+$\frac{2}{z}$=1+$\frac{2}{\frac{13}{6}}$=1+$\frac{12}{13}$=$\frac{25}{13}$，
故c≤$\frac{25}{13}$，
故c的最大值為$\frac{25}{13}$，
故答案為：$\frac{25}{13}$．

點評 本題主要考查線性規劃、基本不等式、還有函數知識考查的綜合類題目．在解答過程當中，同學們應該仔細體會數形結合的思想、函數思想、轉化思想還有恒成立思想在題目中的體現．