Question

11．已知函數f（x）=x+$\frac{4}{x}$
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在（2，+∞）上的單調性并予以證明；
（3）求f（x）在[3，4]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函數的奇偶性的定義，判斷函數的奇偶性．
（2）利用函數的單調性的定義，判斷函數的單調性．
（3）函數的單調性求出f（x）在[3，4]上的值域．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱，
再根據$f（-x）=-x-\frac{4}{x}=-f（x）$，可得f（x）為奇函數．
（2）任取x₁，x₂∈[2，+∞），令 x₁＜x₂，∵$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{4}{x_1}-（{x_2}+\frac{4}{x_2}）$=${x_1}-{x_2}+\frac{{4（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）（1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}）$=$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-4）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
因為x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[2，+∞）上是增函數．
（3）因為f（x）在[2，+∞）上是增函數，[3，4]⊆[2，+∞），所以f（x）在[3，4]上是增函數，
∴$f{（x）_{max}}=f（4）=5，f{（x）_{min}}=f（3）=\frac{10}{3}$，∴f（x）的值域為$[{\frac{10}{3}，5}]$．

點評 本題主要考查函數的奇偶性的判斷方法，函數的單調性的定義和證明方法，利用函數的單調性求函數的值域，屬于中檔題．