Question

20．若${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^n}$展開式中存在常數(shù)項，則n的最小值為5．

Answer 1

分析 根據(jù)二項式展開式的通項公式，令x的指數(shù)等于0，求出n、r的關系，即可求出n的最小值．

解答 解：${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}}）^n}$展開式中通項公式為
T_r+1=${C}_{n}^{r}$•${（\sqrt{x}）}^{n-r}$•${（-\frac{1}{\root{3}{x}}）}^{r}$=${C}_{n}^{r}$•（-1）^r•${x}^{\frac{3n-5r}{6}}$，
令$\frac{3n-5r}{6}$=0，解得n=$\frac{5r}{3}$，其中r=0，1，2，…，n；
當r=3時，n=5；
所以n的最小值為5．
故答案為：5．

點評 本題考查了利用二項展開式的通項公式求展開式的特定項問題，是基礎題．