Question

8．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=25，圓C上的點到直線l：3x+4y+m=0（m＜0）的最短距離為1，若點N（a，b）在直線l位于第一象限的部分，則$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值為$\frac{{7+4\sqrt{3}}}{55}$．

Answer 1

分析 求出圓的圓心與半徑，利用圓C上的點到直線l：3x+4y+m=0（m＜0）的最短距離為1，求出m，然后推出a，b的方程，利用基本不等式求解表達式的最值．

解答 解：圓C：（x-3）²+（y-4）²=25，圓心坐標（3，4），半徑為5，
圓C上的點到直線l：3x+4y+m=0（m＜0）的最短距離為1，
可得$\frac{|9+16+m|}{\sqrt{9+16}}$=6，解得m=-55．
點N（a，b）在直線l位于第一象限的部分，
可得3a+4b=55．
則$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{55}$（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）（3a+4b）=$\frac{1}{55}$[7+$\frac{4b}{a}$+$\frac{3a}{b}$]≥$\frac{1}{55}$（7+$2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{3a}{b}}$）=$\frac{{7+4\sqrt{3}}}{55}$．當且僅當3a²=4b²，a=$\frac{55（2\sqrt{3}-3）}{3}$取等號．
故答案為：$\frac{{7+4\sqrt{3}}}{55}$．

點評 本題考查與與圓的方程的應用，基本不等式求解表達式的最值，考查分析問題解決問題的能力．