Question

8．設函數$f（x）=2\sqrt{3}{sin^2}x-{（sinx-cosx）^2}（x∈R）$．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）把y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求$g（-\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式化簡，結合三角函數的性質可得f（x）的單調遞增區間；
（2）用三角函數的平移變換規律，求解出g（x）的解析式，即可求出$g（-\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：函數$f（x）=2\sqrt{3}{sin^2}x-{（sinx-cosx）^2}（x∈R）$．
化簡可得：f（x）=$2\sqrt{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x）$-1+2sinxcosx
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}-1$=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}-1$
即$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，（k∈Z）$，
得：$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，（k∈Z）$，
∴f（x）的單調遞增區間是$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]，（k∈Z）$．
（2）由（1）知，$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1$，
把y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到$f（x）=2sin（x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1$的圖象，再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到$f（x）=2sinx+\sqrt{3}-1$的圖象，
即$g（x）=2sinx+\sqrt{3}-1$．
那么：$g（-\frac{π}{3}）=2sin（-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-1=-1$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，平移變換的規律，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．