Question

12．如圖，ABC-A'B'C'為直三棱柱，M為CC的中點，N為AB的中點，AA'=BC=3，AB=2，AC=$\sqrt{13}$．
（1）求證：CN∥平面AB'M；
（2）求三棱錐B'-AMN的體積．

Answer 1

分析 （1）取A′B′的中點E，連接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，設AB′∩EN=F，連接FM，可得NF∥CM，NF=CM，從而得到CN∥FM，然后利用線面平行的判定可得CN∥平面AB'M；
（2）由CM∥平面ABB′，可得M到平面ANB′的距離等于C到平面ANB′的距離，則V_M-ANB′=V_C-ANB′，證得BC⊥平面ABB′A′，則三棱錐B'-AMN的體積可求．

解答 （1）證明：如圖，取A′B′的中點E，連接EC′，EN，
∵ABC-A′B′C′為直三棱柱，∴ABB′A′為矩形，則AB′，EN共面，
設AB′∩EN=F，連接FM，
則EN∥BB′∥CC′，且F為AB′的中點．
又∵M為CC′的中點，
∴NF∥CM，NF=CM，則CN∥FM，
而MF?平面AB'M，CN?平面AB'M，
∴CN∥平面AB'M；
（2）解：∵CM∥平面ABB′，
∴M到平面ANB′的距離等于C到平面ANB′的距離，
∴V_M-ANB′=V_C-ANB′
∵ABB′A′為矩形，N為AB中點，
∴${S}_{△ANB′}=\frac{1}{4}{S}_{ABB′A′}=\frac{1}{4}×AB×AA′=\frac{1}{4}×2×3=\frac{3}{2}$．
∵ABC-A'B'C'為直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面ABB′A′，且平面ABC∩平面ABB′A′=AB，
在三角形ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC，即BC⊥平面ABB′A′，
∴${V}_{C-ANB′}=\frac{1}{3}•{S}_{△ANB′}•BC=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×3=\frac{3}{2}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．