Question

4．若實數x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{lg（y-1）≤0}\\{2x-y≤2}\end{array}\right.$，若a＜$\frac{y}{x+1}$恒成立，則a的取值范圍為（-∞，$\frac{2}{5}$]．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義求出表達式的最小值，推出a的范圍即可．

解答 解：實數x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{lg（y-1）≤0}\\{2x-y≤2}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{0＜y-1≤1}\\{2x-y≤2}\end{array}\right.$的可行域如圖：
$\frac{y}{x+1}$的幾何意義是可行域內的點與D（-1，0）連線的斜率，由可行域可知DA的連線的斜率最小，由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{2x-y=2}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{3}{2}$，1），
k_DA=$\frac{1}{\frac{3}{2}+1}$=$\frac{2}{5}$．
則a的取值范圍為：（-∞，$\frac{2}{5}$]．

點評 本題考查線性規劃的簡單應用，考查數形結合思想的應用，是中檔題．