Question

13．在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M是AB的中點，則點A到平面A₁DM的距離為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{6}$a
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$a
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$a
• D． $\frac{1}{2}$a

Answer 1

分析 利用三棱錐的體積公式進行轉換，即可求出點A到平面A₁DM的距離．

解答 解：棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M是AB的中點，則AM=$\frac{1}{2}a$，A₁B=$\sqrt{2}a$，A₁M=$\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
BM=$\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
設點A到平面A₁DM的距離為：h；
則${V}_{A-{A}_{1}BM}={V}_{{A}_{1}-ABM}$，
可得$\frac{1}{3}$${S}_{△{A}_{1}BM}$•h=$\frac{1}{3}$S_△ABM•AA₁，
可得$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}×\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$a²h=$\frac{1}{2}×a×\frac{1}{2}a×a$，
解得h=$\frac{\sqrt{6}}{6}a$．
故選：A．

點評 本題以正方體為載體，考查了立體幾何中點、線、面的距離的計算，屬于中檔題．運用體積計算公式，進行等體積轉換來求點到平面的距離，是解決本題的關鍵．