Question

15．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的焦距為2c，直線l：y=kx-kc，若當$k=\sqrt{3}$時，直線l與雙曲線的左右兩支各有一個交點；且當$k=\sqrt{15}$時，直線l與雙曲線的右支有兩個不同的交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（2，4）．

Answer 1

分析 由題意可知雙曲線的漸近線斜率$\frac{a}$∈（$\sqrt{3}$，$\sqrt{15}$），根據e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，即可求得雙曲線的離心率的取值范圍．

解答 解：由題意可知：直線l：y=k（x-c）過焦點F（c，0）．
雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
可得雙曲線的漸近線斜率$\frac{a}$∈（$\sqrt{3}$，$\sqrt{15}$），
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，
由3＜$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＜15，4＜1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＜16，
∴2＜e＜4，
∴雙曲線離心率的取值范圍為（2，4）．
故答案為：（2，4）．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用漸近線方程，考查學生分析解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．